<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
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          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
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          Endereo Internet: 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Terceira Parte

Unidade 3

Introduo ao 
  clculo algbrico :::::::: 199
1 -- Expresses 
  algbricas ::::::::::::::: 202
Valor numrico :::::::::::: 210
Alguns tipos de expresses 
  algbricas ::::::::::::::: 218
Expresses algbricas 
  e medidas :::::::::::::::: 222
2 -- Monmios :::::::::::: 235
Forma reduzida e 
  monmios semelhantes ::::: 239
3 -- Operaes entre
   monmios ::::::::::::::::: 245
Adio e subtrao :::::::: 245
Multiplicao e 
  diviso :::::::::::::::::: 252
Potenciao ::::::::::::::: 261
Simplificao de 
  expresses algbricas :::: 263
<P>
Leitura + (mais) :::::::: 277
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 279

<70>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+199>
Unidade 3

 Introduo ao clculo algbrico

  Recentemente, um concurso realizado na Inglaterra elegeu as mais belas equaes da histria. As equaes a seguir foram algumas das mais votadas.

<R+>
<F->
_`[{quadro *Beleza Matemtica* adaptado_`]
1) ei^p+1=0
Para que serve: A equao de Euler tem aplicaes em clculos de Matemtica pura.
Por que foi eleita: A construo rene vrios elementos -- como a constante ^p, um nmero imaginrio i e outro real 1 -- para resultar em nada 0. Leonhard Euler (1707-1783).
2) E=mc2
Para que serve: A equao de Albert Einstein estabelece a relao entre energia E e massa de um corpo m. O smbolo *c* refere-se  velocidade da luz.
Por que foi eleita: Teve grande impacto na Fsica do incio do sculo XX. Alm disso, fica fotognica estampada em uma camiseta. Albert Einstein (1879-1955).
3) F=ma
Para que serve: Ao associar a fora F com a massa de um corpo m e sua acelerao a, a frmula de Isaac Newton permite o clculo do movimento de qualquer objeto.
Por que foi eleita: Pela simplicidade do raciocnio e praticidade da frmula. Sir Isaac Newton (1643-1727).

Fonte: *Veja*. So Paulo: Abril, 2005.
<F+>
<R->

<71>
_`[{a professora diz_`]
  "*a* e *b* so retas paralelas. Qual  a rea de qualquer tringulo como estes desenhados entre as retas *a* e *b*?"
<F->
a
---------------------------------           
 le           ie e
 l e         i  e   e     3 cm
 l  e       i    e     e
 l   e     i      e       e
 l    e   i        e         e
:h:::::h:h::::::::::h:h:::::::::h
b 2 cm      3 cm        3,5 cm
<F+>

_`[{a menina diz_`]
  "Um tem `(2"3`)2... ...3 cm2."

_`[{o menino diz_`]
  "O outro, `(3"3`)2..., ...tem 4,5 cm2. E o outro, `(3,5"3`)2..., ...tem 5,25 cm2."

  A altura de qualquer desses tringulos  igual a 3 cm; portanto, a rea poder ser indicada por `(3.m`)2, ou ?3.m*~2, em que a letra *m* representa a medi-
<P>
 da da base de qualquer tringulo desenhado da mesma forma. A expresso ?3.m*~2 envolve nmeros, letras e operaes entre eles.
  Atualmente, em muitas situaes usamos letras para representar nmeros, expresses que envolvem letras, nmeros e operaes indicadas entre eles.
  Nesta unidade, veremos como expresses desse tipo permitem representar situaes e problemas em uma linguagem universal.
<R+>
  Explique o significado da frase: Todos os dias Maria tem *n* coisas para fazer.
  Como utilizar letras, nmeros e operaes entre eles para representar o permetro de um quadrado?
<R->

<72>
 1 -- Expresses algbricas

  A lgebra  uma linguagem fundamental da Matemtica. Ela  
<P>
 assim considerada porque possibilitou a introduo de smbolos claros e precisos para representar operaes e sentenas envolvendo nmeros e tambm para expressar fatos genricos.
  Vamos continuar a estudar clculo algbrico analisando as situaes a seguir.
  Uma locadora de bicicletas est fazendo muito sucesso.
  Ao alugar uma bicicleta pela primeira vez, o cliente paga uma taxa nica, que  acrescida ao valor dirio do aluguel.

<R+>
_`[{cartaz_`]
 Ajude o planeta a ser mais saudvel! E, de quebra, economize combustvel, alugando uma bicicleta.
 Taxa nica -- R$8,00
 Diria -- R$5,00
<P>
 wr
  Se Mariana alugar uma bicicleta por 3 dias, quanto ela gastar?
  E se alugar por 10 dias? E por 20 dias?
<R->

  Vamos fazer uma tabela com o nmero de dias de aluguel e o valor correspondente a ser pago:

_`[{a menina diz_`]
  "Calculo o aluguel conforme o nmero de dias."

<R+>
<F->
_`[{tabela *Aluguel de bicicletas* adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Nmero de dias
2 coluna: Valor a ser pago `(R$`)
<P>
!:::::::::::::::::::::
l 1  _ 8+5.1=13   _
r:::::w::::::::::::::::w
l 2  _ 8+5.2=18   _
r:::::w::::::::::::::::w
l 3  _ 8+5.3=23   _
r:::::w::::::::::::::::w
l 5  _ 8+5.5=33   _
r:::::w::::::::::::::::w
l 10 _ 8+5.10=58  _
r:::::w::::::::::::::::w
l 20 _ 8+5.20=108 _
h:::::j::::::::::::::::j
<F+>
<R->

  Portanto, Mariana pagar R$23,00 por 3 dias de aluguel, R$58,00 por 10 dias e R$108,00 por 20 dias.
  Para um nmero qualquer de dias: Aluguel =8+5.`(nmero de dias`)
<73>
  Em vez de escrevermos a expresso nmero de dias, podemos usar uma letra que a represente.  comum adotarmos esse procedimento em lgebra: sempre que uma palavra ou uma expresso se repete constantemente, usamos uma letra para represent-la. Por exemplo, utilizando a letra *n* para expressar o nmero de dias, podemos escrever uma expresso para o valor do aluguel da bicicleta. Veja:

 8+5.n ou 8+5n

_`[{o professor diz_`]
  "*n*  uma varivel."

  A expresso 8+5n traduz com exatido e em uma linguagem universal o valor que ser pago pelo aluguel de uma bicicleta por um perodo de n dias nessa locadora.
  Em uma aula de Geometria a professora de Joo desenhou um quadriltero na lousa e escreveu uma frmula.

_`[{a professora diz_`]
  "A rea desse quadriltero  igual  metade do produto da medida da diagonal maior pela medida da diagonal menor."

?D.d*~2

<F->
   _  
   _ 
   _         
 D_   
::::w::::
   _           
   _ d
   _      
   _
<F+>

<R+>
 wr
  Que quadriltero foi desenhado pela professora de Joo?
  Se as diagonais de um quadriltero como esse medem 10 cm e 5 cm, qual  sua rea?
<R->

  O quadriltero desenhado  um losango.
  Observe na tabela o clculo da rea de um losango para alguns valores das medidas das diagonais.
<P>
<R+>
<F->
_`[{tabela *rea do losango*, adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Diagonal maior cm
2 coluna: Diagonal menor cm
3 coluna: rea cm2

!::::::::::::::::::
l 5  _ 3  _ 7,5   _
r:::::w:::::w::::::::w
l 10 _ 5  _ 25    _
r:::::w:::::w::::::::w
l 14 _ 9  _ 63    _
r:::::w:::::w::::::::w
l 31 _ 27 _ 418,5 _
h:::::j:::::j::::::::j
<F+>
<R->

<75>
  Para calcularmos a rea de losangos utilizamos a frmula:

 rea do losango =?D.d*~2

  Em Matemtica, chamamos 8+5.n e ?D.d*~2 de expresses algbricas.
  Observe outros exemplos:
<P>
 y2~2+1
<R+>
 significa: A soma da metade do quadrado de um nmero com 1.
 ou: Um nmero elevado ao quadrado, dividido por 2 e adicionado a 1.
 *y*  a varivel.

 ?3x+#,c*
 significa: A raiz quadrada da soma do triplo de um nmero com um tero.
 ou: A raiz quadrada do triplo de um nmero adicionado a um tero.
 *x*  a varivel.
<R->

  De maneira simplificada chamamos de expresso algbrica uma expresso que envolve nmeros, letras e as operaes indicadas entre eles.
  As letras so as variveis de uma expresso algbrica e podem representar qualquer nmero real.
<P>
 Valor numrico

_`[{a menina diz_`]
  "Voltando ao aluguel da bicicleta..."

 aluguel =8+5.n
 
<R+>
 Para 10 dias: aluguel =8+5.10=58
 58  o valor numrico da expresso 8+5.n, para n=10.
 Para 25 dias: aluguel =8+5.25=133
 133  o valor numrico da expresso 8+5.n, para n=25.
<R->

  Valor numrico de uma expresso algbrica  o resultado que obtemos quando atribumos s letras dessa expresso valores numricos e efetuamos as operaes nela indicadas.

<75>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Observe a cena e responda s questes.

_`[{cena adaptada_`]
 Um casal em frente  bilheteria de um parque, onde est escrito: "Entrada R$7,00; cada brinquedo R$6,00.". O moo diz: "Um parque de diverses!"; a moa pensa: "Olha o tnel do amor!".

 a) Entrando nesse parque e utilizando 3 brinquedos, quanto ser gasto? E utilizando 10 brinquedos?
 b) Copie e complete esta tabela com dados para 1, 2, 3, 6, 8, 10 e 15 brinquedos.
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::
l Nmero de _         _
l brinquedos _ Gastos _
l usados     _ R$   _
r::::::::::::w:::::::::w
l 1         _ '''     _
r::::::::::::w:::::::::w
l 2         _ '''     _
r::::::::::::w:::::::::w
l 3         _ '''     _
h::::::::::::j:::::::::j
<F+>

 c) Escreva uma expresso algbrica que traduza o gasto nessa situao.

 2. Em um escritrio, algumas secretrias digitam *n* caracteres por minuto. Mantendo o mesmo ritmo, quantos caracteres elas digitam em:
 a) 10 minutos?
 b) 15 minutos?
 c) meia hora?
 d) 1 hora?
 e) *t* minutos?
<P>
 D sua resposta usando uma expresso algbrica.

 3. A letra *a* representa um nmero. Escreva uma frase que traduza estas expresses algbricas:
 a) 3.a
 b) a
 c) a3~3
 d) ?2.a*

 4. A quantia que Lus possui  3.200 reais a menos que um quinto do quadrado da quantia que Carlos possui. Represente a quantia de Carlos por *x* e use uma expresso algbrica para indicar a quantia de Lus.
 5. Considere a sequncia: 

 -3, 0, 3, 6, 9, ..., 3n, ...

 Escreva uma expresso algbrica que represente o nmero que vem imediatamente depois de *n*.

 6. O tringulo {a{b{c  retngulo. Qual  a expresso algbrica que relaciona *a*, *b* e *c*?

<F->
   A
   
   l
   l 
   l  
   l    b
 c l     
   r::   
   l_-_   
   v--#----o
   B  a  C
<F+>

 7. Um automvel percorre uma distncia *d* em meia hora. Copie e complete esta tabela com uma expresso algbrica, supondo que o automvel conserve a mesma velocidade.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Tempo (horas)
2 coluna: Distncia percorrida

!:::::::::::
l 0,5 _ d   _
r::::::w:::::w
l 1   _ ''' _
r::::::w:::::w
l 1,5 _ ''' _
r::::::w:::::w
l 2   _ ''' _
r::::::w:::::w
l t    _ ''' _
h::::::j:::::j
<F+>

 8. Escreva cada frase a seguir usando uma expresso algbrica:
 a) A soma do quadrado de um nmero *x* com um nmero *y*.
 b) O quociente entre o quadrado de um nmero *a* e o quadrado de um nmero *b*, diferente de zero, nessa ordem.
 c) O quadrado da diferena entre um nmero *x* e um nmero *y*, nessa ordem.
<P>
 9. Determine o valor numrico da expresso a2+2a+3 para 
  a=-5.
 10. Qual  o valor numrico da expresso algbrica: y2~2-
  -8, em que y=4?
<76>
 11. Se A=2`(x+13`)-y e sendo x=0,5 e y=-3, qual  o valor de A?

 12. Na expresso algbrica 2.^p.r, *r* representa a medida de um dos raios de uma circunferncia.
 a) O que representa a expresso dada?
 b) Calcule o valor numrico da expresso dada para circunferncias de raios 2 cm, 3 cm, 5,6 cm e 10 cm. 

 Use ^p=3,14.
<R->

 Troque ideias e resolva

  Em uma competio esportiva, cada atleta d um aperto de mo a cada um dos outros atletas uma nica vez. O nmero de apertos de mos de acordo com o nmero de atletas foi calculado e registrado na tabela.
<R+>
  Copie esta tabela e complete-a para 6, 7 e 8 atletas.
  Qual  o nmero de apertos de mos para um nmero qualquer de atletas?
<R->

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Nmero de atletas
2 coluna: Nmero de apertos de mos
<P>
!:::::::::::::::::::::
l 3  _ ?3.2*~2=3 _
r:::::w::::::::::::::::w
l 4  _ ?4.3*~2=6 _
r:::::w::::::::::::::::w
l 5  _ ?5.4*~2=10_
r:::::w::::::::::::::::w
l 6  _ '''            _
r:::::w::::::::::::::::w
l 7  _ '''            _
r:::::w::::::::::::::::w
l 8  _ '''            _
h:::::j::::::::::::::::j
<F+>
<R->

 Alguns tipos de expresses 
  algbricas

  Em uma expresso algbrica as variveis so indicadas por letras, que representam nmeros reais.

<R+>
_`[{o professor diz: "Esta expresso algbrica tem varivel no denominador."; ele mostra a seguinte expresso na lousa: "?5.x*~?4-x*"; a menina diz: "Mas estas no tm!"; ela mostra as seguintes expresses: "-6.x+13 e ?2.x-4*~7"_`]
<R->

<77>
  Dizemos que:
 
<R+>
 -6.x+13 e ?2.x-4*~7 so expresses algbricas inteiras.
 ?5.x*~?4-x*  uma expresso algbrica fracionria.
<R->

  Quando uma expresso algbrica no apresenta varivel no denominador, dizemos que ela  uma expresso algbrica inteira. E, quando ela apresenta, dizemos que ela  uma expresso algbrica fracionria.

<R+>
 wr
  Qual  o valor numrico da expresso algbrica a seguir para x=-10?
<R->

 ?5.x*~?10+x*
<P>
  Quando o valor de uma varivel anula o denominador de uma expresso algbrica, no existe valor numrico da expresso para esse valor.
  Determinamos o valor de *x* que anula o denominador da frao algbrica anterior resolvendo a equao:

 10+x=0 
 x=-10

  A expresso algbrica 5x~?10+x* no tem valor numrico para x=-10.
  Ou seja, na expresso algbrica 5x~?10+x*, devemos ter x=-10.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 13. Identifique se estas expresses algbricas so inteiras ou fracionrias.
<P>
 a) -3x+4y
 b) n~6+5n2
 c) 5~2x
 d) 8~?9-7y*
 e) ?4x~3*

 14. Algumas das expresses algbricas a seguir no tm valor numrico para x=4. Quais so essas expresses?
 a) x~?8-2x*
 b) ?3-x*~4x
 c) x~?1-x~4*
 d) ?x2-2*~?x+8*

 15. Dentre os nmeros -8, -5, 4, 8 e 10 h dois valores de *x* para os quais no existe o valor numrico da expresso algbrica ?2x2-9x+1*~?x2-
  -64*. Quais so esses valores?

 16. Determine o valor de *x* para o qual no existe o valor numrico destas expresses algbricas:
<P>
 a) ?2x-5*~?8-x*
 b) ?2x2-1*~?6x+1*
 c) 15x2~?18x+36*
 
 17. Para quais valores de *x* o valor numrico da expresso ?10x-64* no  um nmero real?
 a) x=0 
 b) x=4 
 c) x=6,4
 d) x=10
  Determine o valor numrico dessa expresso algbrica quando ele existir.
<R->

<78>
 Expresses algbricas e medidas

  As expresses algbricas e o clculo de seu valor numrico so muito utilizados na aplicao de frmulas, como, por exemplo, frmulas de reas de regies planas.
  A rea de um trapzio qualquer  a metade do produto da soma das 
<P>
 medidas das bases pela medida da altura do trapzio.

<R+>
<F->
     ccccccccce   
        b      e
  h              e
                   e
        B           e
----------------------u    
<F+>

 B, *b* e *h* representam medidas na mesma unidade.

 wr
  Escreva em seu caderno uma expresso algbrica para a rea do trapzio dado na figura.
  Qual  a rea de um trapzio que  tem 7 cm de altura e bases que medem 5 cm e 9 cm?
<R->

  Indicando a medida da altura de um trapzio qualquer por *h* e as medidas das bases por B e *b*, sua rea  representada pela fr-
<P>
 mula a seguir. A letra A representa a rea do trapzio.

 A=?`(B+b`).h*~2

  Calculamos a rea do trapzio na situao anterior atribuindo a *h*, B e *b* as medidas dadas. Essa rea  o valor numrico da expresso ?`(B+b`).h*~2, em que B=9, b=5 e h=7.

 A=?`(9+5`).7*~2=?14.7*~2=
  =49
 A=49 cm2

  Portanto, 49 cm2  a rea do trapzio cujas medidas foram dadas no problema proposto.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 18. Represente o permetro e a rea destas figuras:

<F->
!::::: 
l     _l 
l  A _   
h:::::j 

!::::::::::::::: 
l               _b 
l       B      _
h:::::::::::::::j 
        a       
<F+>

 19. No tringulo a seguir, *b* e *h* representam medidas em centmetros.
<P>
<F->
         e
        l  e
        l    e
        l      e
        lh      e
        l          e
        l            e
        l              e
 -------v---------------e 
          b              
<F+>

 a) Escreva uma frmula para a rea desse tringulo.
 b) Calcule a rea de um tringulo que tem 4,2 cm de base e 5 cm de altura relativa a essa base.

 20. Uma relao entre a distncia *d* (em metros) percorrida por um corpo e o tempo *t* (em segundos) necessrio para percorr-la  dada pela frmula d=5.t2-4.t+12. Qual  a distncia percorrida em 6 segundos? E em 8,2 segundos?
<P>
_`[{para as atividades 21 e 22, pea orientao ao professor_`]

 21. Neste bloco retangular, ou paraleleppedo, *a*, *b* e *c* representam medidas tomadas na mesma unidade.
 a) Qual  a frmula do volume desse bloco retangular?
 b) Qual  o valor numrico da expresso algbrica que voc escreveu, em que a=6 cm, b=2,5 cm e c=4 cm? O que significa esse valor numrico?

 22. Na figura da atividade 21, suponha que a=b=c e responda s questes:
 a) Que tipo de slido se obtm quando isso ocorre?
 b) Qual  a frmula para o volume desse slido?
 c) Qual  o volume desse slido para a=9 m?
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  O tringulo a seguir  issceles de base ^c?{b{c*.

<F->
       A
            
        
         
          
           
            
             
--------------o 
B   2x-6   C
<F+>

<R+>
  Represente o permetro desse tringulo.
  Qual  o permetro desse tringulo quando x=4,8 cm?
  Para que valor de *x* temos um permetro igual a 18 cm? Quanto medem os lados do tringulo nesse caso?
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 23. Escreva uma expresso algbrica para:
 a) o dobro do produto de um nmero real por outro;
 b) o produto da soma pela diferena entre dois nmeros reais quaisquer;
 c) o quadrado da diferena entre dois nmeros reais;
 d) o quociente entre um nmero real e o triplo de outro nmero real.

 24. Um carro roda 8 km por litro de combustvel. Que expresso algbrica poder representar o nmero de quilmetros que esse carro poder percorrer com *n* litros de combustvel?
<P>
 25. A converso de temperaturas de F (graus Fahrenheit) para C (graus Celsius) pode ser feita pela expresso algbrica: 

 C=?5F-160*~9

 A quantos graus Celsius corresponde -4F?

 26. Determine o valor numrico das expresses algbricas a seguir, quando ele existir.
 a) ?3x-4*~2x, em que x=64.   
 b) a2-2ab+b2, em que a=#;c e b=1.
 c) ?-2x+y*~?x-y*, em que x=y=10.
 d) `(a-b`)2, em que a=#;c e b=1.
 e) ?x2-25*~?`(x+5`).`(x-5`)*, em que x=10.
 f) ?`(a-7`)2*~?18-a* em que a=18.
<R->

<80>
<P>
 Seo + (mais)

 Nmeros triangulares

  Pitgoras, o matemtico e filsofo grego que viveu no sculo VI a.C., e seus seguidores, os pitagricos, tambm estudaram os chamados nmeros figurados. O desenho a seguir representa um desses nmeros: o nmero 6.

<F->
   o
  oo
 ooo 
1+2+3 :> 6
<F+>

  Os pitagricos chamavam o nmero 6 de nmero triangular, pois ele pode ser representado em forma triangular.

_`[{o menino diz_`]
  "Parece um tringulo."
<P>
  Observe parte da sequncia dos nmeros triangulares:

<F->
 o 
oo
1+2 :> 3

  o
 oo
ooo
1+2+3 :> 6
                            
   o 
  oo  
 ooo 
oooo 
1+2+3+4 :> 10

    o
   oo    
  ooo
 oooo  
ooooo
1+2+3+4+5 :> 15
<F+>
<P>
<R+>
 Existe um padro geomtrico e um padro numrico nessas representaes.
<R->

  A busca de padres  importante quando aprendemos e produzimos Matemtica.
  Vamos ver se voc identifica algum padro?
  Ento, com palitos de fsforo usados, forme estas figuras:

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
_`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]

  Observe a sequncia de figuras que voc formou e identifique um padro geomtrico.
 a) Quantos palitos de fsforo h na 1 figura?
 b) Quantos palitos de fsforo h na 2 figura?
<P>
 c) Quantos palitos de fsforo h na 3 figura?
 d) Quantos palitos de fsforo h na 4 figura?

  Use um palito de fsforo como unidade e calcule o permetro de cada figura. Copie esta tabela em seu caderno e complete-a.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Ordem das figuras
2 coluna: Permetro

1 -- ''' 
2 -- ''' 
3 -- ''' 
4 -- ''' 
... -- ... 
10 -- ''' 
... -- ... 
20 -- ''' 
... -- ... 
n -- ''' 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<81>
<P>
 2 -- Monmios
  
  Algumas expresses algbricas envolvem apenas um produto. Identificar essas expresses  o primeiro passo para trabalhar com elas como se fossem nmeros.
  Nesta figura, todos os lados do hexgono so iguais.
  A letra *a* representa a medida de cada lado de um hexgono.

<F->
   cccccccc
            
             
               
              
             
            
   -------- 
<F+>
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "So 6 lados e cada um mede *a*... ...ento adiciono 6 variveis iguais a *a*."

<R+>
 wr
  Qual  a expresso algbrica que representa a permetro de cada hexgono?
<R->

  Para cada lado do hexgono, temos:

 a+a+a+a+a+a=6.a  
 a+a+a+a+a+a=6a

  O permetro de cada hexgono  representado pela expresso algbrica: 6.a ou 6~a.
  6.a ou 6a  uma expresso algbrica que representa um produto.

 6.a ou 6a  um monmio.
 *a*  a varivel.
<P>
 Um monmio  formado por:
<R+>
  uma parte numrica chamada coeficiente;
  uma parte literal formada pelas letras, que so as variveis, e seus expoentes.
<R->

 Em:
 6.a
 *a*  a parte literal.
 6  o coeficiente.

  Observe outros exemplos de monmios:

 x3 ou 1.x3
 Varivel: x
 Coeficiente: 1
 Parte literal: x3

 -?3.y2*~4 ou -#:d.y2
 Varivel: y
 Coeficiente: -#:d
 Parte literal: y2
<P>
 5.a.b5 ou 5ab5
 Variveis: *a* e *b*
 Coeficiente: 5
 Parte literal: ab5

<82>
 Vamos combinar

  Todo monmio com coeficiente igual a zero  um monmio nulo.
  O monmio 0.x4 ou 0x4  um monmio nulo porque seu coeficiente  igual a zero.

<R+>
 Monmios so expresses algbricas que representam um produto de nmeros reais por uma parte literal formada por letras e seus expoentes, que devem ser nmeros naturais.
 As letras so as variveis e representam nmeros reais quaisquer.
<R->
<P>
 Forma reduzida e monmios 
  semelhantes

 Forma reduzida

  Observe a expresso algbrica neste quadro: 

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l 2.a.x2.`(-3`).x3 _
h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

_`[{o menino diz_`]
  " um monmio!"

_`[{a menina diz_`]
  ", mas..."

_`[{outra menina diz_`]
  "...pode ser simplificado."

  Da mesma maneira que fazemos com nmeros, podemos escrever um monmio em uma forma reduzida.
<P>
 Para a parte numrica: 
  2.`(-3`)=-6 
 Para a parte literal: 
  a.x2.x3=a.x?2+3*=a.x5

  Assim, 2.a.x2.`(-3`).x3=
 =2.`(-3`).a.x2.x3=-6.a.
 .x5=-6ax5.
  -6ax5  uma forma reduzida do monmio 2.a.x2.`(-3`).x3.

 Monmios semelhantes

  Observe as partes literais destes dois monmios: -11ab e 0,8ab.

<R+>
 wr
  O que podemos dizer sobre as partes literais desses monmios?

 Dois ou mais monmios que tm partes literais iguais so chamados de monmios semelhantes.
<R->

<83>
<P>
  Veja outros exemplos de monmios semelhantes:

 5.a.x2 e -2.a.x2 
 -#;c.x2.y e x2.y 
 2.x3 e -x3

 Troque ideias e resolva

<R+>
  Copie e complete esta tabela em seu caderno: 

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Nmero
2 coluna: Dobro do nmero

0 -- ''' 
1 -- ''' 
2 -- '''
5 -- ''' 
15 -- ''' 
37 -- ''' 
n -- ''' 
<F+>
<P>
  Que tipo de nmero representa o monmio 2.n?
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 27. Qual  o coeficiente do monmio -3y3~4? E a parte literal?
 28. Os monmios -?3.y2*~4 e -3y3~4 so semelhantes? Justifique sua resposta.
 29. Apresente dois monmios semelhantes a -?3.y2*~4.
 30. Quando um monmio  nulo?

 31. Indique trs monmios que tenham:
 a) parte literal ab4;
 b) coeficiente -3,5.

 32. Com os monmios a seguir, forme grupos de monmios semelhantes:
 a) -9m2n
 b) 0,8mn2
 c) -#,;cemn
 d) #,;cemn2
 e) 0,8m2n
 f) 21mn

 33. Represente usando monmios:
 a) a medida do lado do quadrado {a{b{c{d;

 *x*  a medida do lado de um quadradinho.

<F->
A         D
!:::::::::
l   _   _   _
r:::w:::w:::w
l   _   _   _
r:::w:::w:::w
l   _   _   _x
h:::j:::j:::j
B         C
<F+>

 b) a rea da figura formada pelos trs quadrados.
<P>
<F->
!:::
l   _   
r:::w:::
l   _   _
h:::j:::j
  x
<F+>

  Os monmios que voc encontrou nos dois itens anteriores so semelhantes? Por qu?

 34. Copie e complete esta tabela em seu caderno escrevendo os monmios em uma forma reduzida. Identifique o coeficiente e a parte literal de cada um deles.

<F->
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Monmios
2 coluna: Forma reduzida
3 coluna: Coeficiente
4 coluna: Parte literal

3.10x2.x -- ''' -- ''' 
  -- '''
<P>
#,b.-8x3.x4 -- ''' -- ''' -- '''
-4.2x.#,fy2 -- ''' -- ''' 
  -- '''
-5.10x.-#,ej.y -- ''' -- '''  -- '''
3.0x2 -- ''' -- '''-- '''
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<84>
 3 -- Operaes entre monmios

  Podemos efetuar operaes entre monmios empregando as propriedades j estudadas para os nmeros.
 
 Adio e subtrao

  Observe os monmios que esto no quadro: 

<F->
!:::::::::::::::::
l 3x3 e 2x3 _
h:::::::::::::::::j
<F+>
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "Faa uma tentativa!"

<R+>
 wr
  Qual  a soma destes monmios?
<R->

  Primeiro observamos que os monmios 3x3 e 2x3 so semelhantes.

 3x3+2x3=x3+x3+x3+x3+
  +x3  
 3x3+2x3=5x3
 Adicionamos os coeficientes e 
  conservamos a parte literal.

  Ou, ainda, utilizando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio:

 3x3+2x3=`(3+2`).x3=5x3

  A soma de 3x3 com 2x3  igual a 5x3.

 wr
  Qual  a diferena entre 
  -3a2b e -#?b~a2b?
  Subtraindo -#?b~a2b de -3a2b, temos a expresso algbrica a seguir: 

 -3a2b-`(-#?b~a2b`) 

  Calculamos a diferena, eliminando os parnteses e transformando a expresso algbrica em uma soma algbrica. Acompanhe:

_`[{a professora diz_`]
  "-3a2b e -#?b~a2b so monmios semelhantes."

 -3a2b-`(-#?b~a2b`)=
  =-3a2b+#?ba2b 
 -3a2b-`(-#?b~a2b`)=`(-#!b+
  +#?b`)a2b=-#,b~a2b

<85>
  Veja outros exemplos:

 #,bx2-3x2+#?fx2=
  =`(#,b-3+#?f`)x2=
  =?3.1-6.3+1.5*~6x2=
  =?3-18+5*~6x2=-#,fx2=
  =-#?cx2

 ax-3ax-#?b~ax=
  =`(1-3-#?b`)ax=
  =?2.1-2.3-1.5*~2ax=
  =?2-6-5*~2ax=-#*b~ax

<R+>
 A soma ou a diferena de dois monmios semelhantes  um monmio com:
  coeficiente igual  soma algbrica dos coeficientes;
  parte literal igual  desses monmios.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 35. Calcule a soma e a diferena, na ordem dada, entre estes monmios:
 a) -5x2 e -7x2
 b) -ay3 e 10ay3
 c) #:dxy2 e -#,bxy2
 d) #,cx2y e #;ex2y
<P>
 e) -ax4 e -0,2ax4
 f) -1,4bmx3 e #?f~bmx3

 36. Qual  o monmio que na forma reduzida corresponde a: -#:dx3y2-`(-x3y2~8`)? 
 37. Calcule o permetro de cada figura. As medidas dos lados so dadas em uma mesma unidade e esto representadas por monmios.
<F->
a)
       e
         e
2xy       e 6xy
             e
              e
  -------------e
       7xy
<P>
b)
          b~2
        !:::::::
        l       _
 b~2  l       _b~2 
!:::::::b       :::::::
l                       _
lb~2                  _b~2
h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

_`[{para as atividades 38 e 39, pea orientao ao professor_`]

 38. A rea do pentgono menor  representada por y2~6 e a rea do pentgono maior por 4y2. Determine a rea da parte pintada de azul.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 39. A rea desta figura  representada pelo monmio 33a2b e a rea de cada quadrado, por 2a2b. Determine a rea do hexgono.
<P>
_`[{figura adaptada_`]
 Um hexgono retangular e em cada um dos seus lados h um quadrado. Os quadrados esto para o lado de fora do hexgono.
<R->

<86>
 Problema resolvido

_`[{o menino diz_`]
  "Vamos calcular esta soma algbrica?"

<R+>
 -3ab3-#,f~ab3+#,ah~ab3+
  +#=i~ab3

 Temos uma soma algbrica com trs parcelas.
 Como os monmios so semelhantes, podemos escrever:

 -3ab3-#,f~ab3+#,ah~ab3+
  +#=i~ab3=`(-3-#,f+#,ah+
  +#=i`)ab3=`(-#?ah-#:ah+#,ah+
  +#,ah`)ab3=-#;ah~ab3=
  =-#=c~ab3
 -3ab3-#,f~ab3+#,ah~ab3+
  +#=i~ab3  igual a -#=c~ab3.

 41. Calcule estas somas algbricas:
 a) -3m2n+#:hm2n+6m2n-
  -#?hm2n-m2n;
 b) -0,5xy+#:exy+#,bxy-0,6xy.
<R->

 Multiplicao e diviso

  Multiplicamos e dividimos monmios aplicando as propriedades que j conhecemos para a multiplicao e a diviso de potncias de nmeros.
  Observe o retngulo {m{n{p{r.
  Nele a medida da largura corresponde a dois teros da medida do comprimento, representada por *x*.

<F->
M    x     R
!::::::::::::
l            _
l            _
l            _
h::::::::::::j
N          P
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  Qual  a expresso algbrica que representa a rea desse retngulo? Calcule em seu caderno.
<R->

  Representamos a medida da largura por #;cx. A rea do retngulo  igual ao produto da largura pelo comprimento.

 x.#;cx  um produto de monmios.
 x -- medida do comprimento
 #;cx -- medida da largura
 rea =x.#;cx
 rea =1.#;c.x.x=#;c.x2=#;cx2 

  O monmio #;cx2 representa a rea desse retngulo e  o produto dos monmios *x* e #;cx.
<87>
  Observe outros exemplos de multiplicao de monmios:

`(-2ax2`).`(5a3xy`)=
  =`(-2.5`).a.a3.x2.x.y=
  =-10.a?1+3*.x?2+1*.y=
  =-10a4x3y

`(-#,ix2y3`).`(-#!exy4`)=
  =`(+#,i.#!e`).x2.x.y3.y4=
  =`(+#;c.#;a`).x2.x.y3.y4=
  =#c.x?2+1*.y?3+4*=
  =#cx3y7

<R+>
 O produto de dois ou mais monmios  um monmio com:
  coeficiente igual ao produto dos coeficientes desses monmios;
  parte literal igual ao produto das partes literais desses monmios.
<R->

  Observe esta cena:

_`[{o menino diz_`]
  "Qual  o monmio que multiplicado por -2y3 tem como produto -24y5?"

_`[{o outro menino diz_`]
  "Espere um pouco! Deixe-me pensar!"

<R+>
 ...diviso  a operao inversa da multiplicao...
<P>
 wr
  Encontre voc tambm uma resposta.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Vamos fazer um esquema."

<R+>
<F->
_`[{esquema adaptado_`]
Monmio :> .-2y2 multipli-
  ca :> -24y5
-24y5 :> -2y3 divide :> 
  monmio
<F+>
<R->

  Portanto, ao dividirmos -24y5 por -2y3 obtemos o monmio desconhecido no problema proposto.

<R+>
 `(-24y5`)`(-2y3`)  uma diviso de monmios. O monmio 12y2  o quociente de -24y5 por -2y3.

 `(-24y5`)`(-2y3`)=
  =-24y5~-2y3=+#;b.
  .y5~y3= -- Diviso de po-
<P>
  tncias de bases iguais.  
  =12y?5-3*=12y2
<R->

  Assim, 12y2  o monmio que multiplicado por -2y3 resulta no produto -24y5.
<88>
  Observe outros exemplos de diviso de monmios:

`(28a3x4`)`(-12ax2`)=
  =-28a3x4~12ax2=
  =-#=c~a?3-1*.x?4-2*=
  =-#=c~a2x2

`(-#:ex2y3`)`(#;aex2y`)=
  =-`(#:e.#,?b`)x2y3~x2y=
  =-`(#:a.#:b`)x2y3~x2y=
  =-#*bx?2-2*.y?3-1*=
  =-#*bx0.y2=-#*by2

<R+>
 O quociente entre dois monmios, com o divisor diferente de zero, tem:
  coeficiente igual ao quociente entre os coeficientes desses monmios;
<P>
  parte literal igual ao quociente entre as partes literais desses monmios.
<R->

  Nas divises, vamos considerar os divisores sempre diferentes de zero.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 42. Qual  o monmio que multiplicado por 20x3y tem como produto -18x4y2?

 43. Determine os monmios que representam as reas do quadrado e dos retngulos a seguir. As medidas dos lados de cada figura, em uma mesma unidade, so representadas por monmios indicados nas prprias figuras.
<F->
<P>
a)
   5x
!::::::
l      _
l      _ 5x
l      _
h::::::j

b)
  3y3
!::::::::::::
l            _ y2~2
h::::::::::::j

c)
     y2
!::::::::::::
l            _ x
l            _
h::::::::::::j
<F+>

 Problema resolvido

 44. Calcule `(3x2`).`(-5x`).
  .`(+#,ahx3`). Nessa multiplicao temos trs fatores. Veja 
<P>
  como calculamos o produto nesse caso:
<R->

<R+>
<F->
`(3x2`).`(-5x`).`(+#,ahx3`)=
  =3.`(-5`).`(#,ah`).x2.x.x3=
  =1.`(-5`).`(#,f`).x2.x.x3=
  =-#?f.x6

`(3x2`).`(-5x`).`(+#,ahx3`)=
  =-#?fx6
`(3x2`).`(-5x`).`(+#,ahx3`)  igual a -#?fx6
<F+> 
<R->

<R+>
 45. Calcule estes produtos:
 a) `(-#=ey4`).`(+#?gy`).y2
 b) `(-#,b~a`).`(+2a`).`(-6`)
 c) `(-6ab2`).`(2a2b`).`(ab`)
 d) `(-0,2m3n`).`(-5m2n3`).
  .`(-#,dm`)
 e) `(-#cxy2`).`(#!ex2y`).
  .`(-#,?hx`)

 46. Determine os monmios que representam a rea de cada retngulo:
<P>
 a)
<F->
      x      8x
    !::::::::::::::
    l   _           _
2y l   _           _
    l   _           _
    h:::j:::::::::::j

b)
      xy      
     !::::::
     l      _
 4x l      _
     l      _
 3x pcccccc
     h::::::j

c)
      2x3 x3  5x3
     !::::::::::::::::::
     l      _   _         _
x2 l      _   _         _  
     l      _   _         _
     h::::::j:::j:::::::::j
<P>
d)
       x2y   7x2y
       !::::::::::::::
       l   _           _
3x3 l   _           _
       l   _           _
       h:::j:::::::::::j
<F+>
<R->

<89>
 Potenciao

  Para elevar um monmio a uma potncia, aplicamos as propriedades j estudadas para os nmeros.

 wr
  Qual  o cubo de x2?

  Podemos calcular o cubo de x2 de duas maneiras:
<R+>
  escrevendo `(x2`)3 como um produto de trs fatores iguais a x2.
 `(x2`)3=x2.x2.x2=
  =x?2+2+2*=
  =`(x2`)3=x6 
<P>
  aplicando a propriedade da potncia de potncias.
 `(x2`)3=x?2.3*=x6
 `(x2`)3=x6
<R->

  Portanto, `(x2`)3=x6.
  Veja outro exemplo em que obtemos a quarta potncia de -#:exy3:

 O expoente 4  par.
 `(-#:exy3`)4=+#:exy3.#:exy3.
  .#:exy3.#:exy3
 `(-#:exy3`)4`=+`(#:e`)4.x4.
  .`(y3`)4=34~54.
  .x4.y?3.4*=#",fbex4y12
<R+>
 A quarta potncia de -#:exy3  #",fbex4y12.

 A potncia de um monmio  um monmio com:
  coeficiente igual  potncia do coeficiente desse monmio;
  parte literal igual  potncia da parte literal desse monmio.
<R->
<P>
  Vamos combinar que em potncias de monmios, a parte literal  diferente de zero.

 Simplificao de expresses 
  algbricas

  Podemos simplificar as expresses algbricas que envolvem operaes procedendo da mesma forma que para as expresses numricas. Efetuamos primeiro as potncias, em seguida calculamos os produtos e os quocientes e, finalmente, as somas algbricas, reduzindo os termos semelhantes.
  Acompanhe a simplificao da expresso algbrica: 

 `(2x2`)35x3+6x2+x3~5

`(2x2`)35x3+6x2+
  +x3~5=8x65x3+
  +6x2+x3~5=#"ex3+
  +6x2+x3~5=#"ex3+
  +x3~5+6x2=#*ex3+6x2

<90>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 47. Efetue as operaes e simplifique as expresses algbricas:
 a) `(3y`)2-y2+3y2
 b) `(y~2`)5.y~3.3y+y7-
  -9y5
 c) `(-#,cx2`)5`(#;cx2`)4-x+
  +x2

 48. Responda s questes:
 a) Qual  o quadrado de -11a2b3?
 b) Qual  o cubo de -#,cxy2?

 49. Calcule estas potncias:
 a) `(-3x2y3`)3
 b) `(0,2y2z`)5
 c) `(-mn3~4`)3
 d) `(-0,3ay4`)2
 e) `(-1,2a4b2`)2
 f) `(0,1xy6`)4
<P>
 50. Simplifique as expresses algbricas:
 a) -8ax2+10ax2+18ax3
  `(-3x`)
 b) `(-#;cx2y`)-#,bx5y3
  `(-#:bxy`)
 c) -4a3y4`(0,2ay`)-
  -0,8a2y3+y3
 d) `(-#,cx2`)5`(#;cx2`)4+
  +#,:dhx2

 Troque ideias e resolva

  Qual  a potncia de um monmio, diferente de zero, quando o expoente  1? E quando o expoente  zero?
  Determine estas potncias: `(2x2`)1; `(-3xy3`)1; `(-4a4`)0; `(#;cx2y`)0.
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 51. Cada sequncia de monmios a seguir tem pelo menos um segredo. Descubra um deles.
 a) Mantendo o segredo que voc descobriu, indique os monmios que esto escondidos nas ...
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Descubra o segredo antes!"

<R+>
<F->
sequncia A
-2x2; 6x2; -18x2; '''; '''; '''; '''
sequncia B
64a; 32a2; 16a3; '''; '''; '''; '''
sequncia C
3x6y; 3x5y2; 3x4y3; '''; '''; '''; '''
<P>
sequncia D
#,fbex3; #,abex3; #,bex3; '''; '''; '''; ''' 
<F+>

 b) Quais das sequncias dadas so formadas de monmios semelhantes?

<91>
 52. Leia a informao que a professora diz, em seguida, determine o monmio que representa o volume dos paraleleppedos das figuras. As medidas das arestas de cada paraleleppedo, em uma mesma unidade, esto representadas por monmios indicados nas figuras.
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "O volume de um paraleleppedo  o produto das trs dimenses: comprimento, largura e altura."

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 a) paraleleppedo: comprimento -- 3a; largura -- a; altura -- 2~a.
<P>
 b) paraleleppedo: comprimento -- 2x2; largura -- y2; altura -- 4xy.
 c) paraleleppedo: comprimento -- 2mn; largura -- m2~2; altura -- 4n.

 53. Observe cada caixa a seguir, que tem a forma de um paraleleppedo, e uma de suas planificaes _`[no adaptadas_`]. As medidas das arestas de cada caixa, numa mesma unidade, esto representadas por monmios indicados nas figuras. Determine o monmio que representa a rea total da superfcie de cada caixa.

 rea total  a soma das reas das faces.

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) caixa de suco: comprimento -- 2a; largura -- 2a; altura -- 7~a.
<P>
 b) caixa de lpis de cor: comprimento -- 4x; largura -- x~2; altura -- 3x.

 54. Adicione o monmio 24ax3 a 32ax3. Multiplique o resultado obtido por #,h~ax. Qual  o monmio obtido?
 55. Qual  o monmio que obtemos quando subtramos -3x4y3 do produto de -#"gex3y por #,?afxy2?
 56. Andreia quer saber qual  a rea total da caixa de presente que tem a forma de um cubo. Ela fez uma planificao de um cubo e representou a medida de cada aresta por 2a, como mostra a figura. Ajude-a a descobrir o monmio que representa a rea total do cubo.
<P>
<F->
         !::
         l  _
+::::::r::w
l  _  _  l  _
h::j::j::r::w
         l  _
         h::j
<F+>

 57. A medida das arestas do dado _`[no adaptado_`]  5a3. Calcule o volume desse dado.
 58. O produto de dois monmios  igual a -#,f~a3b3c. Se um deles  #=h~abc, qual  o outro?
 59. Dividindo-se um monmio por -9mn2, obtm-se 2n. Qual  esse monmio?

 60. Copie e complete as igualdades substituindo o y por monmios, de modo a tornar as sentenas verdadeiras. (Considere x=0 e y=0.)
 a) `(3x2`).y=18x6
 b) y.`(-2y3`)=-6y4
<P>
 c) `(-#;cx2`).y=x5
 d) `(#,by4`).y=y10
 e) `(-10xy`).y=-20x2y3
<R->

<92>
 Seo + (mais)

 Amizade: a palavra-chave

  Copie a cruzadinha em seu caderno e complete as linhas horizontais, conforme as informaes:
<R+>
 1. A soma algbrica de 3ax2 com -ax2.
 2. O produto de 3y por -mx.
 3. A diferena entre -#,d~irt e #:d~irt.
 4. O quociente entre 10xz2 e 2xz.
 5. O nmero que multiplicado por -2ab resulta em 58a2bc.
 6. O nmero que dividido por -3m d d~3.
 7. O produto de *y* pela soma de *ey* com seu triplo.
<R->
<P>
<F->
        !:::::::::
        l   _ a _   _  
!:::!:::r:::w:::w:::w
l   l   l   _ m _   _ 
h:::r:::r:::w:::w:::w:::
    l   l   _ i _   _   _
    h:::r:::w:::w:::j:::j
        l   _ z _ 
!:::!:::r:::w:::w::: 
l   l   l   _ a _   _ 
h:::h:::r:::w:::w:::w 
        l   _ d _   _ 
        r:::w:::w:::w 
        l   _ e _   _ 
        h:::j:::j:::j 
<F+>

 Nmeros quadrangulares

  Alguns nmeros como 4, 9 e 16 so chamados de nmeros quadrangulares. Veja por qu, observando a sequncia:
<P>
Nmeros quadrangulares

<F->
Figura 1
    !::
o--lo_  
  loo_
  h::::j
1+3=4 

ou

oo
oo 
22=4

Figura 2
<F->
        !::
oo    lo_
oo----lo_
    looo_
    h::::::j
1+3+5=9

ou
<P>
ooo
ooo
ooo 
32=9

Figura 3
<F->
            !::
ooo      lo_
ooo      lo_
ooo------lo_
      loooo_
      h::::::::j
1+3+5+7=16

ou

oooo
oooo
oooo
oooo 
42=16
<F+>
<P>
  Agora  a sua vez!
<R+>
  Desenhe em seu caderno a prxima figura dessa sequncia.
  Quantos pontos tem essa figura?
  Qual  o nmero quadrangular seguinte ao 16?
  Copie e complete a tabela em seu caderno.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Figuras
2 coluna: Nmero de pontos
<P>
!:::::::::::::::::::::::::
l 1  _ 1+3=4=22     _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 2  _ 1+3+5='''       _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 3  _ 1+3+5+7='''    _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 4  _ 1+3+5+7+9=''' _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 8  _ '''                _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 11 _ '''                _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l 24 _ '''                _
r:::::w::::::::::::::::::::w
l n   _ '''                _
h:::::j::::::::::::::::::::j
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<93>
<P>
 Leitura + (mais)

 O uso de letras para decifrar 
  o desconhecido

  As questes matemticas acompanham os seres humanos h muito tempo, desde a poca dos faras, no Antigo Egito, h mais de 3000 anos. Essas questes iam alm da Aritmtica simples, utilizada para resolver problemas do cotidiano.
  O *Papiro de Rhind*  um dos documentos mais antigos e importantes sobre a Matemtica egpcia. Ele foi escrito por volta de 1650 a.C. e mostra que j nessa poca se trabalhava com problemas que envolviam quantidades desconhecidas: so o que chamamos atualmente de incgnitas. Para as incgnitas de uma equao, existia um hierglifo *hau* ou *aha*, que significava monto. Por isso, esse papiro tambm  conhecido como *Papiro de Aha*.
  Na ilustrao _`[no adaptada_`], temos um fragmento desse papiro, do qual foram destacados dois smbolos:
  Os egpcios usaram desenhos de duas pernas dando passos:
 
<R+>
 Passo para a frente: significava adio.
 Passo para trs: significava subtrao.
<R->

  O Papiro de Rhind est no Museu Britnico em Londres e recebeu esse nome por ter sido adquirido pelo banqueiro e antiqurio Henry Rhind em 1858, na cidade de Luxor, no Egito. Tambm  conhecido por *Papiro de Ahmes*, nome do escriba que o registrou.
  O termo lgebra parece ter como origem a palavra rabe *al-jabr*, usada no ttulo do livro *Hisab al-jabr 
 w'al-muqabalah*, escrito por volta do ano 825 pelo matemtico 
 Al-Khowarizmi. O ttulo desse livro pode ser traduzido simplesmente por a cincia das equaes.

<94> 
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Se x=0,777... e y=0,0222 qual  o valor de x+y?

 2. Classifique os nmeros decimais a seguir em racional ou irracional.
 a) 0,333.555.333.555.333.555...
 b) 1,1.10.100.1000...
 c) 2,468.864.468.864.468.864...
 d) 3,25.255.2555...

 3. Determine a medida aproximada da diagonal de um retngulo cujos lados medem 10 cm e 14 cm.
<P>
 4. Copie estas sentenas substituindo a ... por ,, , ( ou (, de forma a torn-las verdadeiras.
 a) 1,33?c*...R 
 b) -2,7171?ga*...Q 
 c) Z...N
 d) Q...R

 5. Em um tringulo retngulo a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos mede 12 cm. Qual  o permetro desse retngulo?

 6. Escreva uma expresso algbrica para:
 a) o cubo de um nmero real;
 b) a metade do quadrado de um nmero real;
 c) 25 unidades a mais que o triplo de um nmero real;
 d) o quociente entre os nmeros reais representados por *x* e *y*, nessa ordem.

 7. Escreva -34p3 como um produto de quatro fatores.
<P>
 8. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`] o ponto O  o centro e o tringulo {a{b{c  issceles e retngulo. Qual  o monmio que representa o quadrado do dimetro dessa circunferncia?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 9. Qual  o resultado de: #,ab~ab-`(#:d~ab-#,b~ab+ab`)-
  -`(#?f~ab-ab`)?
 10. Represente a rea do paralelogramo a seguir, usando monmio.
<P>
<F->
      cccccccccccccccm 
                        
                        
                   ab
                        
                        
--------------- 
      2a3 
<F+>

 11. Dada a expresso algbrica: `(5y+4y`)2-`(5y-4y`)2
 a) Efetue as operaes e reduza os termos semelhantes.
 b) Qual  o valor numrico da expresso quando y=-3?

 12. As letras *x* e *y* representam dois nmeros racionais cuja diferena  igual a 20. Copie e complete esta tabela, de modo que x-y=20.

<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: x
2 coluna: y
3 coluna: x-y

!::::::::::::::::::::
l 0     _ '''   _ 20 _
r::::::::w:::::::w:::::w
l -13,7 _ '''   _ 20 _
r::::::::w:::::::w:::::w
l '''    _ 15,2 _ 20 _
r::::::::w:::::::w:::::w
l '''    _ #?f   _ 20 _
r::::::::w:::::::w:::::w
l 0,9   _ '''   _ 20 _
r::::::::w:::::::w:::::w
l '''    _ 20   _ 20 _
h::::::::j:::::::j:::::j
<F+>

 13. Observe os polgonos convexos a seguir e o nmero de suas diagonais:

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: polgonos
2 coluna: nmeros de diagonais
<P>
:::::::::::::::::::::::::::::::::
quadriltero_ ?4.4-3*~2=2  
::::::::::::w:::::::::::::::::::::
pentgono   _ ?5.5-3*~2=5  
::::::::::::w:::::::::::::::::::::
hexgono    _ ?6.6-3*~2=9  
::::::::::::j:::::::::::::::::::::
<F+>

 a) Quantas diagonais possui um octgono?
 b) Escreva uma frmula para o nmero de diagonais de um polgono convexo de *n* lados.

 14. Um nmero real compreendido entre 3.10-1 e #,c pode ser:
 a) 0,03
 b) 0,032
 c) 0,32
 d) 0,35

 15. O valor numrico da expresso a3-3a2.x2.y2, em que a=10, x=3 e y=1,  igual a: 
<P>
 a) -1.700
 b) -1.500
 c) 1.000
 d) 2.700

_`[{para as atividades 16 e 17, pea orientao ao professor_`]

 16. Nesta pirmide _`[no adaptada_`] as medidas de suas arestas esto indicadas em centmetros e a face {m{p{q  um tringulo issceles. O permetro do tringulo {m{p{q  igual a:
 a) 20 cm
 b) 23 cm
 c) 30 cm
 d) 32 cm

 17. Os quadrilteros {a{b{c{d e {d{b{f{e _`[no adaptados_`] so quadrados. Se os lados do quadrado {a{b{c{d medem 3 cm, ento a rea do quadrado {d{b{f{e  igual a:
<P>
 a) 18 cm2
 b) 9 cm2
 c) 18 cm2
 d) 12 cm2

 18. (Encceja) Em uma fbrica de parafusos, Carlos ficou encarregado de observar o funcionamento da mquina na produo de parafusos. Ele organizou esta tabela, em que *t* representa o tempo em minutos e *p*, a quantidade de parafusos produzida nesse tempo.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: t
2 coluna: p
<P>
!::::::::::
l 1  _ 3  _
r:::::w:::::w
l 2  _ 6  _
r:::::w:::::w
l 3  _ 9  _
r:::::w:::::w
l 4  _ 12 _
r:::::w:::::w
l ''' _ ''' _
h:::::j:::::j
<F+>

 A produo *p* em um determinado tempo *t* pode ser expressa por:
 a) p=5.t
 b) p=3.t
 c) p=5+t
 d) p=3+t

 19. (Prova Brasil) Este grfico mostra a evoluo da preferncia dos eleitores pelos candidatos A e B.

<F->
_`[{grfico adaptado_`]
Candidato A:
1 de maio -- 40%
1 de junho -- pouco abaixo de 40%
1 de julho -- 40%
1 de agosto -- acima de 40%
1 de setembro -- acima de 50%
1 de outubro -- acima de 50%

Canditado B: 
1 de maio -- 50%
1 de junho -- acima de 50%
1 de julho -- 50%
1 de agosto -- abaixo de 50%
1 de setembro -- abaixo de 40%
1 de outubro -- abaixo de 40%
<F+>

 Em que ms o candidato A alcanou, na preferncia dos eleitores, o candidato B?
 a) Julho
 b) Agosto
 c) Setembro
 d) Outubro
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte
